Si vuole modellare il fenomeno su una superficie spaziale continua \(S \in \mathbb{R}^2\), in un’intervallo temporale discreto \(T= \{1,2,\ldots\}\). Data \(\{s_{i,t}\}\) la i-esima locazione nel t-esimo istante temporale, si ipotizza che \(\{s_{i,t}\}\) segua un processo di Poisson non omogeneo con funzione di intensità spaziale \(\lambda_t(s)\). Il nostro interesse in questo contesto è quello di stimare questa funzione di intensità, e per fare ciò assumiamo che \(\lambda_t(s)\) possa essere riscritta come \[\lambda_t(s)=\delta_t f_t(s) \quad \ s \in S \subseteq \mathbb{R}^2 \quad t \in \mathbb{N} \]

dove:

• \(\delta_t\) è la componente temporale

• \(f_t(s)\) è la componente spaziale.

Per la definizione di Processo di Poisson (Diggle. (2013)) si ha che \(Y_t \vert\lambda_t \sim Poisson(\delta_t)\) quindi \(\mathrm{E} [Y \vert \lambda_t]=\delta_t\).

Per poter andare avanti dobbiamo ipotizzare che \(\mathrm{E} [Y \vert \lambda_t]=\mathrm{E} [Y \vert \mathcal{F}_{t-1},X]\) (Matteson et al. (2011)) dove \(\mathcal{F}_{t-1}=\{ y_0,y_1,\ldots \}\) e \(X\) sono dei regressori deterministici.

Se impostiamo ora \(\mu_t=\mathrm{E} [Y \vert X]\), moltiplicando e dividendo la formula precedente otteniamo: \[\delta_t= \mu_t \mathrm{E} \biggl[ \frac{Y_t}{\mu_t} \vert \mathcal{F}_{t-1},X \biggr]=\mu_t \eta_t\] dove:

• \(\mu_t\) è una media condizionata ai regressori deterministici

• \(\eta_t\) è una sorta di componente reisduale che dipende dal passato detta Condtitional Intensity Inflation Rate (CIIR)

Per stimare \(\mu_t\) si usa un Dynamic Latent Factor Model, mentre per stimare la componente di CIIR si usa un Int-GARCH(1,1) (Fokianos (2012)) (Ferland, Latour, and Oraichi (2006))

Facciamo alcune precisazioni sul Dynamic latent factor model: Data la matrice \(M\) di dimensioni \(d \times m\) dove \(d\) è il numero di giorni considerati e \(m\) è il numero di ore per giorno, l’obbiettivo è quello di ricrivere tale matrice in forma ridotta tramite la seguente scomposizione \(logM=LF'=HBF'\) con \(FF'=I_n\).

Se aggiungiamo una variabile non deterministica? Fino ad ora si è supposo che \(X\) fosse una marice di dati deterministici, un’ idea per provare a migliorare il modello è quella di includere delle covariate di natura stocastica per esempio la Temperatura.

Aggiungendo delle nuove covariate possiamo riscrivere l’ultima formula come \[logM=\binom{H_1}{H_2}(B_1 B_2)F'\]

La componente spaziale \(f_u(s)\) viene definita come (Zhou and Matteson (2015)) \[f_u(s)=\frac{ \sum_{t \in T_{obs}} \omega(s_{i,t},u)K_H(s-s_{i,t})}{\sum_{t \in T_{obs}} \omega(s_{i,t},u)}\] dove:

• \(K\) é un kernel gaussiano bivariato

• \(H\) è una matrice quadrata contente le bande di lisciamento

• \(\omega(s_{i,t},u)\) è la funzione dei pesi che serve per dare maggiore peso alle osservazioni che sono influenti nella previsione della funzione di intensità ad un generico istante \(u\).

La funzione dei pesi viene parametrizzata come: \[\omega_c(u-t)=\rho_{1,c}^{u-t}+\rho_{2,c}^{u-t}\rho_{3,c}^{sin^2 ( \frac{\pi(u-t)}{24} )}\rho_{4,c}^{sin^2 ( \frac{\pi(u-t)}{168} )} c \in \{ 1,2,\ldots,C \}\]

Per fare delle simluazioni l’idea è quella di scegliere un arco temporale, fare previsione del numero di eventi su tutta la regione \(S\) ed in seguito distribuire il numero di punti previsto su tutta la regione coerentemente con la funzione di intensità spaziale.

L’operazione di distribuzione degli eventi avviene tramite una procedura definita di thinnig che cosniste in due fasi:

1. si crea un point pattern sotto assunzione di processo omogeneo e quindi con locazioni completamente random. Per fare ciò si estrae per ogni coordinata e per ogni punto da un Uniforme continua \(Unif(a, b)\), i cui parametri sono rispettivamente a=il minimo del supporto e b= il massimo,

2. per ogni locazione si estrae da una Bernoulli di probabilità \(p(s) =\frac{\lambda_{max}}{\lambda(s)}\) dove \(\lambda_{max}\) è il massimo della funzione di intensità spaziale e \(\lambda(s)\) e il valore della funzione di intensità spaziale nel punto \(s\). Se esce 1, il punto resta nel point pattern, se esce 0 il punto viene ”bruciato" e quindi escluso.